Tip:
Highlight text to annotate it
X
I denna video kommer jag att göra dig bekant med idén om gränsvärden, vilket är en väldigt viktig idé
Det är egentligen detta som matematisk analys grundar sig på.
Fastän det är väldigt viktigt, så är det faktiskt en ganska lätt idé.
Jag skall nu rita en funktion - eller låt mig först definiera en funktion
här. En simpel funktion. Låt oss definiera f(x)- f(x) som (x-1)/(x-1).
Och du kan säga: "Hej Sal, kolla, jag har samma uttryck i nämnaren och täljaren.
Om jag har något dividerat med sig själv, blir det inte då bara ett! Kan jag inte förenkla detta till f(x)=1 ?"
Då skulle jag säga: "Njå, du har nästan rätt, men skillnaden mellan f(x)=1 och detta här
är att detta är odefinierat när x=1. Så om du låter - låt mig skriva det här- om du har
f(1), vad händer? I täljaren får du (1-1), vilket är... låt mig skriva det...
i täljaren får du 0, och i nämnaren får du (1-1), vilket också är 0. Och eftersom allt dividerat
med 0, vilket innesluter 0/0, är odefinierat. Så du kan förenkla - du kan säga att detta
samma som f(x)=1, men du måste tillägga att x inte kan vara lika med 1. Detta
och detta är lika med varandra. Båda är lika med 1, för alla andra x förutom 1. Men
vid x=0 blir den odefinierad. Detta är odefinierat och detta odefinierat. Så hur skulle jag skissa denna funktion?
Så låt mig skissa den. Det där är min y=f(x) -axel och detta är min x-axel, och låt oss sedan säga att
detta är punkten x=1, detta är x=-1 och detta y=1, här uppe kan jag skriva -1, men det
hjälper oss inte mycket relativt till funktionen här, låt mig skissa den. Så egentligen för
allax förutom 1, f(x)=1. Så det kommer att se ut som följande... förutom vid 1. Vid 1 är f(x) odefinierad, så
jag skall lägga ett litet lucka just här, denna cirkel, för att markera att denna funktion
inte är definierad - vi vet inte vad denna funktion har för värde vid 1, vi har aldrig definierat den.
Denna definition av funktionen berättar inte för oss vad du ska göra vid 1 - den bokstavligen odefinierad när x = 1.
Så detta är funktionen här, och så återigen, om någon skulle fråga vad är f(1), så skulle du..
och låt oss säga, även detta var en funktionsdefinition, du skulle säga x = 1. Oh vänta, det finns en lucka i min funktion
här är det odefinierat. Så låt mig skriva det igen... Tja, det är typ av överflödigt men jag ska skriva om det.
f(1) är odefinierad. Men vad händer om jag skulle fråga dig, vad funktionen närmar sig
vid x = 1? Och nu, börjar vi komma in på området av gränsvärden. Så när x närmar sig 1...
Vad närmar sig funktionen? Vad kommer den att närma sig med tiden, då den kommer närmare och närmare?
På den vänstra sidan, oavsett hur nära du kommer till 1, så länge som du inte är vid 1, f (x) = 1.
Hit från höger sida får du samma sak. Så att du kan säga - och du kommer att bli
mer och mer bekant med denna idé när vi gör fler exempel - att gränsen när
x (och lim, kort för gräns) - när x närmar sig 1 i f(x) är lika med...
När vi kommer närmare kan vi komma otroligt, oändligt mycket nära till 1 så länge som vi inte är vid 1...
Och vår funktion kommer att vara lika med 1, den kommer närmare och närmare 1,
Det är faktiskt vid 1 hela tiden. Så i det här fallet kan vi säga gränsen när x närmar sig 1 för f(x)
är 1. Så återigen, har mycket snygga notation, vi bara säger, "titta, vad närmar sig funktionen
när x når allt närmare och närmare 1?"
Låt mig göra ett annat exempel där vi göra med en kurva, bara så att du har den allmänna idén.
Så låt oss säga att jag har funktionen f(x) - låt mig bara av sort, låt mig kalla det g(x).
Låt oss säga att vi har g(x) är lika med - jag kan definiera den här vägen, kan vi definiera det som x ²
När x inte är lika med 2, och låt oss säga att när x = 2, det är lika med 1. Så än en gång, typ av en intressant
funktion som - som du ser - inte är helt kontinuerlig. Den har ett avbrott. Låt mig diagram det.
Så här mitt y=f(x) axel, detta är min x-axeln rätt över här. Låt oss säga det här är x = 1, det här är x = 2,
Detta är -1, detta är -2... Så överallt utom x = 2, det är lika med x ². Så låt mig göra det här,
Detta 's gonna be en parabel, ser det ut så här... Det är gonna se något...
Låt mig göra en bättre version av en parabel. Så ser det ut så här, inte den mest vackert
ritade Parabel i historia ritning parabler, men jag tror att det kommer att ge er uppfattning om vad en parabel
ser ut, förhoppningsvis. Det bör vara symmetrisk... Låt mig rita om det, eftersom det är kinda ful.
Som ser bättre, okej, okej, det du gå. Okej.
Nu, detta bör diagram över bara x ², men det är inte x ² när x = 2. Så än en gång, när x = 2,
Vi bör ha en liten bit av ett avbrott här, så jag ska göra en lucka rätt borta,
eftersom när x = 2, funktion är lika med 1.
Jag gör dem inte på samma skala... På grafen f (x) = x ² detta skulle vara 4, detta skulle vara 2,
Detta skulle vara 1, detta skulle vara 3. Så, x = 2, vår funktion är lika med 1.
Så det är lite av en bisarr funktion, men du kan ange det här sättet, kan du definiera en funktion men
du vill definiera den! Och så märker, det har precis som grafen f (x) = x ² utom när du kommer till 2,
den har denna brist, eftersom du inte använder den "g (x) = x ² när x = 2", Använd "g (x) = 1".
Om jag har sagt f(x), jag ber om ursäkt för detta.
Du använder g (x) = 1, så då bara exakt vid 2, det sjunker till 1, och det håller kommer längs x ².
Så finns det ett par saker. Om jag skulle bara utvärdera funktionen - g.2,
väl titta du på denna definition. Okej, då x = 2, jag använder denna situation rätt över här,
och det berättar att det kommer att vara lika med 1. Låt mig ställa en mer intressant fråga, eller kanske en mer
intressant fråga. Vad är gränsen som x strategier 2 g(x)? Än en gång, fancy notationen, men
Det begär något ganska ganska enkelt. Den säger "som x får närmare och närmare 2...
Du får närmare och närmare - och detta är inte en strikt definition, ska vi göra i framtiden videoklipp-
x blir närmare och närmare 2, vad g(x) närmar? Så om du kommer till 1,9 och sedan 1.999 och sedan 1.999999
och sedan 1.9999999, vad är g(x) närmar sig? Om du skulle gå i positiv riktning,
Om du skulle säga 2.1, vad är g(2.1)? Vad är g(2.01)? Vad är g(2.001)?
Vad är det närmar sig som vi får närmare och närmare det?
Och du kan se det visuellt bara genom att rita i diagrammet. G blir närmare och närmare 2...
Och om vi skulle följa det i diagrammet ser vi att vi närma sig 4,
även om det är inte där funktionen finns - sjunker funktionen till 1 - gränsen för g(x) som
x strategier 2 är lika med 4. Du kan även göra detta numeriskt med en kalkylator.
Och låt mig göra det, eftersom jag tror att det kommer att bli intressant. Så låt mig få en kalkylator...
Låt mig få min sin TI-85 ut... Så är här min Kalkylatorn... Och du numeriskt kan säga
Okej, vad är det gonna tillvägagångssätt när du närmar dig x = 2? Så låt oss försöka 1.9. För x = 1.9, använder du detta
TOP-instruktion, rätt över här. Så skulle du ha 1.9², och så att du skulle få 3.61.
Tja, vad händer om du komma ännu närmare 2? Så 1,99 och återigen Låt mig square
Jag är bra på 3,96. Vad händer om jag 1.999 och fyrkantiga som?
I 'm gonna get 3.996. Lägg märke till jag får närmare och närmare och närmare vår punkt.
Om jag fick verkligen stänga - 1.999999999999²? What am I gonna get to? Det faktiskt inte kommer att vara
exakt 4 - den här kalkylatorn bara avrundas saker - eftersom vi verkligen verkligen 're gonna komma till ett antal
verkligen verkligen nära 4. Och kan vi göra något från positiva riktning, även och det faktiskt
måste vara samma nummer när vi närmar oss från den nedan, vad vi försöker närma sig,
och över vad vi försöker närma. Så om vi försöker 2.1², får vi 4.4...
Låt mig gå ett par steg framåt...
2.0001². Det är alltså mycket närmare 2 nu. Nu får vi mycket närmare 4.
Så ju närmare vi kommer till 2, ju närmare det verkar som vi får 4.
Så än en gång som är ett numeriskt sätt för att se till att gränsen som x närmar sig 2 från endera riktning
g(x) - även om höger vid 2, funktionen är lika med 1, eftersom det är icke-
gränsen som vi närmar sig 2, vi komma närmare och närmare och närmare 4.