Tip:
Highlight text to annotate it
X
Vi ska hitta fokus och styrlinje för parabeln
genom att flytta på den orangea punkten och linjen
Använd sedan den informationen för att ta fram parabelns ekvation
En parabel är alla punkter som är ekvidistanta till fokus-punkten och styrlinjen
När vi rör oss längs parabeln
så ser vi avståndet till punkten och avståndet till var styrlinjen borde gå
Vi kan se att det här inte går ihop, det här är inte ekvidistant
Det första jag gör när jag ska lista ut var fokus sitter
är att tänka att parabeln ska vara symmetrisk kring den vertikala linje som fokus sitter på
Så fokus sitter rakt ovanför vändpunkten
Den understa biten av den hängande linjen borde inte röra sig upp och ner
Den borde ligga på en rak linje
Vi testar lite annorlunda
Det här ser bra ut
Botten av den vertikala linjen rör sig inte i höjdled, bara sidled
Så om jag flyttar upp styrlinjen dit borde det fungera
Nu visar linjerna avståndet till styrlinjen och avståndet till fokus
Och de avstånden är alltid lika långa
Så jag verkar ha fått rätt fokus och rätt styrlinje
Fokus är (1/4, -3/8)
Och styrlinjen är y = -5/8
Så nu använder vi den informationen för att ta fram parabelns ekvation
Vi använder lite algebra för det
Jag kopierar det här så vi vet vad vi behöver
Den här informationen har vi och vi ska hitta parabelns ekvation
Det här är fokus, som är (1/4, -3/8)
Och styrlinjen är y = -5/8
Och parabeln är ekvidistant till dem
Parabeln är alla punkter (x,y) som är ekvidistanta till de här två sakern
Vi hittar en ekvation för alla (x,y) som har samma avstånd till punkten som till linjen
Först räknar vi ut avståndet mellan fokus och (x,y)
Det avståndet får vi av Pythagoras sats
Det blir (x-1/4) i kvadrat
plus (y-(-3/8)), vilket är (y+3/8), i kvadrat
Vi tar roten ur det om vi vill ha avståndet
Det här är avståndet mellan varje punkt på parabeln och fokus
Avståndet mellan punkten (x.y) och styrlinjen är en vertikal linje, skillnaden i y-led
Det här blir lika med y-(-5/8), vilket är y+5/8
Vi kvadrerar det för att vara säkra på att det alltid är positivt
och sedan tar vi kvadratroten av det
För att förenkla det här kan vi kvadrera båda sidorna av ekvationen
Vi får (x-1/4)^2 + y^2 + 3/4*y + 9/64
som ska vara lika med y^2 + 5/4*y + 25/64
Vi förenklar det genom att ta bort y^2 på båda sidorna
Vi subtraherar 3/4*y från båda sidorna
Och vi subtraherar 9/64 på båda sidorna
På vänster sida står det bara (x-1/4)^2
På höger sida står det 1/2*y + 1/4
Vi är nästan framme men vi måste skriva det på formen "y minus något"
Vi kan bryta ut 1/2
Det blir (x-1/4)^2 = 1/2*(y+1/2)
Får att skriva det på deras sätt ska det bara vara y minus något här
och något gånger (x minus något)^2
Så vi flyttar 1/2 till andra sidan genom att multiplicera båda sidorna med 2
Om vi ska skriva det på deras sätt blir det
y-(-1/2) = 2*(x-1/4)^2
Vi testar om vi har räknat rätt
vi har -1/2, 2, och 1/4
Vi hade rätt!